Золотий переріз

Що таке золотий переріз?

У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий перетин (лат. Sectio aurea, англ. Golden ratio), якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою .

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення, вперше запропоноване давньогрецьким математиком Евклідом. Вживається в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку АВ в такій точці О, що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою — менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною (|АВ| * |OB| = |AO|²).

Це рівняння має єдиний додатній розв'язок

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число  деколи називають золотим числом.

Золотий переріз в архітектурі

Люди розрізняють навколишні їхні предмети й елементи за формою. Особливий інтерес до форми предметів може бути або обумовлений життєвою необхідністю або викликаний їхньою красою. Форма, де основа побудови - це комбінація симетрії, а також золотого перетину, сприяє найбільше кращому зоровому сприйняттю, появі відчуття гармонії икрасоты. Ціле завжди містить у собі кілька частин, які, маючи різну величину, розташовано в певному відношенні одна до одній  і до цілого. Принципом золотого перетину є вищий прояв функціональної й структурної досконалості єдиного цілого і його складових частин у мистецтві, техніку, природі, науці. Якщо говорити про особливості будівництва будинків, то принцип золотий перетин архітектура також використовує

У книгах, де згадується про золоте перетин в архітектурі, пишеться, що все залежить від того, у якому положенні перебуває спостерігач, і що в тому випадку, якщо деякі із пропорцій в спорудженні з однієї сторони мають вигляд утворюючих золотий перетин, те перебуваючи в іншому положенні, людей буде бачити їх по-іншому. Золотий перетин в архітектурі дає саме спокійне співвідношення розмірів різних довжин

Одне з найбільш гарних добутків давньогрецької архітектури це Парфенон, який був побудований в V сторіччі до нашої ери

У Парфеноне є вісім колон по коротким сторонам і сімнадцять по довгих. Виступи повністю споруджені з пентилейского мармуру. Завдяки шляхетності матеріалу, з якого зведений храм, звичайна в грецькій архітектурі розфарбування лише утворює кольорове тло (червоний і синій) для скульптури, а також підкреслює її деталі. Варто відзначити, що відношення висоти спорудження до його довжини становить 0,618.  Якщо виконати розподіл Парфенона згідно такому поняттю, як золотий перетин архітектура будинку буде складатися з тих або інших виступів фасаду

Золотий перетин в мистецтві

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні крапки, що мимовільно приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – т горизонтальний або вертикальний. Таких крапок всього чотири, і розташовані вони на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площини.

Дане відкриття одержало назву «золотого перетину» картини. Тому, для того, щоб привернути увагу до головного елемента фотографії, малюнка, скульптури, архітектурного ансамблю необхідно сумістити цей елемент з одним із зорових центрів. Без нього неможливо уявити собі гармонію, красу, симетрію, визначити їх протилежності.

Існує кілька правил для отримання візуально гармонійних фотографій.Найбільш популярним і корисним є правило «золотого перетину». Розроблене живописцями, це правило діє за принципом, що якщо ви ділите зображення у співвідношенні 2:1, композиція набуває завершеність.
Все, що необхідно для застосування цього правила - розділити видошукач вашої камери на 9 секторів уявними вертикальними і горизонтальними лініями - своєрідну грати. Потім ви можете застосовувати цю решітку для розташування найбільш значимих елементів композиції. Якщо присутній очевидний центр композиції (наприклад, єдине дерево в полі, червона квітка серед жовтих або човен, дрейфуюча на морських хвилях), вам слід розташувати її на одному з чотирьох перетинів решітки, таким чином, щоб вона була на третину зверху чи знизу рамки і на третину з кожного боку. Можна використовувати будь-яку точку, але, маючи об'єкт таким чином, ви автоматично отримуєте найбільш виграшну композицію, ніж за умови, коли точка фокусування розташована будь-яким іншим способом.
Вертикальні лінії решітки можна також використовувати для розділення рамки по вертикалі. Якщо ви, наприклад, знімаєте будова в проміжку між деревами, розташуйте його між деревами на одну третину, відступивши від лівого краю зображення, а будівля - на одну третину від верхнього краю. Таким чином, очей буде мимоволі слідувати між деревами і фокусуватися на будові. Коли сонце заходить за горизонт на море, на поверхні води утворюється світлова лінія відблисків, що грає роль рамки і розділяє композицію. Природним бажанням було б розташувати відображення нижче середини видошукача камери, але розташування його відповідно до правила «золотого перетину» буде більш ефектним. І, нарешті, при фотографуванні ландшафту багато фотографів мають звичай розташовувати лінію горизонту по центру. Але якщо це добре виглядає на абсолютно симетричних композиціях, то при дзеркальному відображенні об'єкта, наприклад, на поверхні озера цього слід уникати, оскільки лінія горизонту ділить зображення на дві рівні частини, в результаті чого, виходить занадто статична і не цікава композиція.
Більш ефектно використовувати горизонтальні лінії уявної грати для визначення місця розташування лінії горизонту. Розміщення лінії горизонту уздовж верхньої лінії решітки дасть співвідношення ландшафту і неба 2:1 і виділить передній план сцени, тоді як розташування по нижній лінії решітки дасть співвідношення 1:2 і виділить небо. Не обов'язково бездумно слідувати цьому правилу, але, в основному, чим далі від центру видошукача ви маєте лінію горизонту, тим краще.
Правило «золотого перетину» використовується переважно при зйомці ландшафтів, натюрмортів і т.д. Але воно також корисно при зйомці крупним планом і об'єктів, де присутня центр композиції чи природне поділ композиції.Незважаючи на те, що правило «золотого перетину» надає істотну допомогу при вибудовуванні композиції, ніколи не вписуйте зображення в це чи будь-яке інше правило насильно. Це зробить вашу роботу передбачуваною і, що набагато гірше нудною.

Переходячи до прикладів "золотого перетину" в мистецтві, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Подивимося уважно на картину.(мал 3)(мал. 4) Композиція портрета побудована на "золотих трикутниках"

Правило третин - принцип побудови композиціїї, що застосовується у малюванні, фотографії та дизайні.

Ряд Фібоначчі

Послідо́вність Фібона́ччі, чи́сла Фібона́ччі — у математиці числова послідовність  задана рекурентним співвідношеннямдругого порядку

і т. д. Ця послідовність виникає у найрізноманітніших математичних ситуаціях — комбінаторних, числових, геометричних.

В природі числа Фібоначчі часто трапляються в різних спіральних формах. Так, черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 — у дуба, 3/8 — у тополі і груші, 5/13 — у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількості спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.

У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв'язував таку задачу:

Фермер годує кроликів. Кожен кролик народжує одного кролика, коли йому стає 2 місяці, а потім дає потомство в 1 кролик кожен місяць. Скільки кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього був лише один (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)?

Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається один кролик, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде два кролики, оскільки перший через два місяці народить другого кролика. На четвертий місяць перший кролик дасть ще одного, а другий кролик потомства не дасть, оскільки йому ще тільки один місяць. Отже на четвертий місяць буде три кролики.

Можна помітити, що кількість кроликів після n — го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n — 1 місяці плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n — 2 місяця).

Якщо через F_n позначити кількість кроликів після n — го місяця, то має місце наступне рекурентне співвідношення:

F_n = F_n-1 + F_n-2, F₁ = F₂ = 1

Покладемо F₀ = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … ,